Hola @Alexis_Fontecha, y bienvenido al Foro 
Realmente has hecho casi todas las pruebas a realizar en estos casos, aunque desgraciadamente por muy buenos que nos salgan los equipos algún día tendrán que morir… 
. Pero no nos pongamos en lo peor… Dell suele tener equipos muy robustos y duraderos si los cuidamos bien
Me ha parecido entender que ya ha probado con otros discos duros. Aparte de la Ram en el tema congelamientos suelen ser los mayores culpables. Habrá que ir descartando dispositivo por dispositivo, hasta llegar a la placa base o a la fuente de alimentación, si ésta falla todo falla 
. Hasta un periférico del tipo Usb como un mousse o un teclado puede provocar este tipo de comportamientos, y hay que ir probando y probando, es la única forma de reparar cualquier cosa 
Yo primero probaría con un sistema en modo Live como se indica en el siguiente manual:
Como probar mi pc con un sistema Live
En la Web de Ubuntu le dan diferentes opciones para crear esta útil herramienta de testeo. De esta forma podremos descartar muchas cosas, entre ellas el disco duro y la Ram. Mire a ver si puede realizar los pasos de la guía y nos comenta 
(Haga todas las pruebas que pueda desconectando todos aquellos periféricos que no le sean básicos como impresoras, unidades de almacenamiento externas, consolas, etc…)
Acabo de ver el soporte de ese equipo Dell Precision-T3400 ? y es algo antiguo en especial el tema de Memoria Ram aunque esto no es un problema dependiendo del uso que le queramos dar (teniendo en cuenta las exigencias actuales)
Saludos.
P.D// y díganos cuantos unidades de disco duro tiene instalados en ese equipo y si estos son mecánicos(HDD) o tipo memoria(SSD)… 